피타고라스, 음악적 발견, 피타고라스의 기질, 평균율

피타고라스, 음악적 발견, 피타고라스의 기질, 평균율

피타고라스(고대 그리스어: Πυθαγόρας, 영어: Pythagoras, 기원전 570년 – 기원전 495년)는 그리스 이오니아 철학자이자 피타고라스 학파의 지도자였습니다.

피타고라스에 대해 알려진 대부분의 정보는 그가 죽은 지 수세기 후에 쓰여졌기 때문에 신뢰할 수 있는 출처가 거의 없습니다.

피타고라스는 사모스 섬에서 태어났으며 어린 시절 지식을 연마하기 위해 이집트와 다른 지역을 여행했을 것으로 생각됩니다.

기원전 530년경 피타고라스는 이탈리아 남부의 크로토네로 이주하여 종교 학교를 세웠습니다.

피타고라스의 제자들은 피타고라스가 발전시킨 종교 의식과 규율을 실천하고 그의 철학 이론을 연구했습니다.

학교는 또한 Croton의 정치에 적극적으로 개입하여 궁극적으로 자체 몰락에 기여했습니다.

피타고라스가 만난 건물에 불이 났고 피타고라스는 강제로 도시를 떠났습니다.

그는 Metapontum에서 말년을 보냈다고합니다.

기원전 6세기 말에 피타고라스는 종교적 가르침을 가르치면서 철학에 큰 영향을 미쳤습니다.

그는 종종 위대한 수학자, 신비주의자, 과학자로 존경받으며, 특히 그의 이름을 딴 피타고라스 정리로 존경받습니다.

그러나 그와 다른 소크라테스 이전의 철학자들에 대한 전설과 혼란은 그의 실제 업적을 모호하게 하여 누구도 그의 가르침에 대해 자신 있는 대답을 하기 어렵게 만들었고 일부는 심지어 수학과 자연 철학에 대한 그의 공헌에 의문을 제기했습니다.

피타고라스의 업적 중 많은 부분이 실제로는 그의 동료나 제자들의 업적이었을 수도 있습니다.

그의 제자들이 모든 것이 숫자이며 숫자가 궁극적인 본질이라고 믿었는지 여부도 알려지지 않았습니다.

피타고라스는 자신을 철학자, 지혜를 사랑하는 사람이라고 부른 최초의 사람이라고 합니다.

피타고라스는 정수 연구에 몰두했고 모든 것을 그가 연구한 정수의 규칙에 연결하려고 했습니다.

숫자를 사랑한 피타고라스의 음악적 발견

존재하는 모든 숫자를 소중히 여기고 의미를 부여하는 사람이 있다.

바로 고대 그리스의 수학자 피타고라스입니다.

모두가 그가 피타고라스 정리의 창시자라는 것만 알고 있지만 그의 위대함은 수학적 사고 과정의 발견에 더 많이 있습니다.

그는 자연의 숨은 수치법칙을 발견할 때마다 깊은 감동을 받아 숫자가 만물의 진리라는 개념에 빠져들었다.

피타고라스의 눈에 비친 세상은 숫자로 가득 차 있었고, 그는 세상의 모든 것이 숫자로 이루어져 있다고 믿기 시작했습니다.

나는 피타고라스에 대한 일화를 하나만 알고 있습니다.

어느 날 대장간 근처의 정체를 알 수 없는 명소를 따라가던 어느 날이었다.

분명히 평범한 망치질 소리였지만 그의 귀에는 놀라운 수학적 질서가 느껴졌다.

단단한 금속이 서로 부딪치는 소리가 아주 조화롭게 들린다.

그에게는 일종의 음악이다.

나는 그 비밀을 밝히기 위해 더 깊이 들여다보기 시작했다.

놀랍게도, 망치와 무게의 비율이 2:1인 망치는 함께 두드렸을 때 높이만 다를 뿐 동일한 소리를 냅니다.

그것은 마치 우리가 지금 옥타브라고 부르는 것, 주파수가 두 배로 다른 두 음 사이의 피치를 말하는 것과 같습니다.

가중치 사이의 특정 정수 비율에 따라 사운드 일치 정도가 달라집니다.

반가운 목소리도 있고, 귀를 막고 싶게 만드는 목소리도 있다.

물론 이 일화는 사실이 아닐 것이다.

정확한 질량으로 피치를 구별하기가 쉽지 않기 때문이다.

그러나 피타고라스가 타악기 소리에서 영감을 받아 적당히 진동하는 현으로 다시 실험했다면 그럴듯해 보입니다.

단바우(Đàn bầu)는 독특한 구조를 가진 베트남의 전통 악기 중 하나입니다.

그것은 단지 스레드입니다.

별도의 복잡한 조작장치 없이 다양한 음색을 연주할 수 있으며, 기본음보다 높은 주파수의 배음을 낼 수 있다.

피타고라스는 이러한 단일 현 악기와 유사한 장치를 사용했을 수 있습니다.

그것이 무엇이든 현의 길이를 달리하면 다른 소리가 나고 길이가 정수비이면 조화롭고 아름다운 소리가 난다.

이때 우리 귀에 편안하게 들리는 소리를 협화음(consonance), 불편하게 들리면 불협화음(dissonance)이라고 하는데, 이는 수학적 순서라고 볼 수 있다.

진동하는 현의 길이를 각각 2:1, 3:2, 4:3으로 설정하여 자음을 만들어 냈는데, 여기에 사용된 숫자의 합은 10으로 깔끔한 느낌을 준다.

비율이 3:2이면 완전5도이고 같은 비율이 연속적으로 중첩되는 것을 피타고라스라고 한다.

주변에 흔한 기타도 비슷한 원리인데, 기타줄 끝의 1/2, 2/3, 3/4 정도에 주변보다 높은 프렛이라는 금속 부분이 있습니다.

여기서 기타 줄을 만지면 처음 쳤을 때보다 더 높은 일정한 속도의 소리가 들립니다.

이것은 수학 때문에 만들어진 옥타브입니다.

피타고라스의 순수 비율에서 메르센 평균 비율로

당시 수학은 자연의 원리나 조화로운 우주의 상징이었다.

그것이 만들어내는 협화음은 자연의 소리임에 틀림없다.

그래서 멀리서 본 천체의 운동은 음악인 동시에 수학이기도 하다.

지구가 우주의 중심이라는 천동설이 기존의 태양 중심설을 대체하던 시대에 천체와 행성의 원운동은 독립적이지 않았다.

별은 우주의 무한한 공간이 아니라 빵 속의 건포도처럼 구형 하늘에 박혀 있다고 믿어집니다.

그리고 천구가 회전함에 따라 그곳에 배치된 별들도 회전한다.

일종의 기록처럼 보입니다.

천체의 유기적인 움직임이 소리를 낼 것이라고 생각했습니다.

실제 평평한 레코드판을 턴테이블에서 켜면 소리가 나고 공간에서 진정으로 적합한 하모니를 만들 수 있다면 수학적으로 우아하게 맞물릴 것이라고 생각했습니다.

즉, 지구 주위를 원을 그리며 움직이는 것처럼 보이는 행성들의 속도와 간격은 음악적으로도 같은 패턴으로 들릴 것이라는 결론에 도달했습니다.

이제 지구가 형성된 순서대로 달, 수성, 금성, 태양, 화성, 목성, 토성에 해당하는 소리를 찾을 때입니다.

각 천체의 고유한 움직임에 따라 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시 등 고유한 소리가 만들어지고, 수학적 사고와 천문학에 기초한 서양 음악 이론이 본격적으로 시작된다.

17세기 독일에서 천문학 혁명을 이끈 요하네스 케플러는 새로운 음악적, 수학적 접근을 실험했습니다.

그는 실제 천체의 움직임과 그들이 내는 소리도 중요하지만 가장 중요한 것은 그 움직임의 배후에 있는 원리라고 믿습니다.

수학자이자 천문학자인 그는 하늘의 음악을 너무 사랑했지만 지구 중심 너머의 코페르니쿠스의 태양 중심 이론을 이해했습니다.

태양계의 모든 행성은 태양을 중심으로만 공전하기 때문에 기존 행성들의 배열이나 움직임이 많이 달라졌다.

태양이 중심으로 이동하면서 달도 떨어지기 때문에 7개의 음표를 만들 행성이 부족합니다.

기존과 다른 다양한 이슈에 대해 고민하는 시간입니다.

비슷한 시기에 마린 메이슨이라는 프랑스 수학자도 있었습니다.

그는 파스칼의 정리와 파스칼의 삼각형으로 유명한 블레즈 파스칼의 스승이었고, 우주의 조화라는 음향학 책을 썼다.

그는 또한 처음으로 소리의 속도를 측정하거나 현의 진동을 실험하여 피타고라스의 주장을 증명했습니다.

사실, 피타고라스 음악의 리듬에는 고정된 주파수 간격이 없었습니다.

피아노 건반을 보면 음표의 배열을 직접 확인할 수 있고, 반음 간격으로 배열하면 12개의 음을 나열할 수 있다.

각 음 사이의 비율을 유리수로 설정하여 최대한 단순하게 만든 음률을 순율이라고 하며, 순율의 첫 번째 이론적 방법은 피타고라스의 음이다.

그러나 이 조의 음들은 균일한 간격을 두고 있지 않기 때문에 여러 번 겹칠 때 완전한 옥타브가 만들어지지 않고 불협화음이 계속된다.

그것을 보상하기 위해 출발하는 것은 위대한 메이슨입니다.

옥타브는 12개의 동일한 반음으로 나뉘므로 주파수는 거의 무리수의 두 배입니다.

이렇게 하면 한 키의 모든 음표가 동일한 피치를 가지며 변조가 매우 자유롭습니다.

평균금리는 이렇게 탄생했습니다.

독일의 작곡가 바흐도 음표를 합칠 때 이것을 사용했다.

철저하게 수학적 구조와 패턴을 바탕으로 수많은 명작을 탄생시켰습니다.

물론 평균 금리에도 단점이 있습니다.

사실 어떤 부분을 제외하고는 완벽한 하모니를 만들어내지 못하기 때문에 순수한 리듬만큼 아름답지는 않을 것이다.

순수기질에는 꽤 괜찮은 만점 5와 약간 아쉬운 만점 5가 나란히 있지만 평균기질에서는 만점 5가 모두 같다.

쉽게 비유하자면 수제 고로케를 만드는 작은 가게에서 그날그날 빵 굽는 사람의 상태에 따라 고로케의 맛이 조금씩 달라지겠지만 정말 맛있을 때도 있는 반면, 대형 고로케가 제공하는 고로케는 프랜차이즈 매장 항상 일관된 맛. 일반적으로 큰 차이를 느끼지 못하기 때문에 요즘 작곡은 대부분 동음 평균율로 구성되며 때로는 소규모 오케스트라에서만 순수한 평균율을 사용하기도 합니다.

또한 Mason은 그의 저서 “일반 조화 이론”에서 현의 피치를 진동하는 현의 길이, 질량 및 장력과 관련시키는 이론을 개발했습니다.

우주적 조화를 만드는 음악 수학적 조화

태양 주위를 도는 행성의 운동에 음악의 원리를 적용하려고 시도한 케플러는 행성이 원이 아닌 타원 궤도를 도는 것을 관찰했습니다.

무엇보다도 그는 천구로 알려진 하늘의 회전이 아니라 행성과 별 자체가 움직이고 있다고 믿게 되었습니다.

궤도가 원형이 아닌 경우 태양과 행성 사이의 거리는 이제 가장 가까운 근일점과 먼 원일점을 생성할 수 있습니다.

행성의 속도는 가까워지면 빨라지고 멀어지면 느려집니다.

행성의 운동을 태양에 대해 비교할 때 행성의 속도는 근일점과 원일점에서 다릅니다.

즉, 동시에 태양과 행성을 연결하는 선이 지나는 면적은 항상 일정하다.

케플러는 또한 이러한 천상의 관계 사이의 음악적 비율을 찾으려고 노력했습니다.

각 행성의 자전 속도를 계산하여 순수한 속도 비율로 변환하면 전체 태양계의 움직임이 조화로운 선율로 나타날 것이라고 믿었습니다.

아쉽게도 멋진 천체의 조화를 이루지는 못했지만, 음악과 수학을 결합한 새로운 사상을 도출하는 과정에서 행성의 운동법칙을 발견한 것은 여전히 ​​역사적 업적으로 평가되고 있습니다.

특히 그의 세 번째 법칙인 행성의 공전 주기의 제곱은 타원 궤도의 장반지름의 세제곱에 비례한다는 법칙은 조화의 법칙이라는 매우 달콤한 이름이 붙여졌습니다.

앞으로 그의 업적은 만유인력의 법칙으로 이어질 것이며 음악이 수학과 과학에 미치는 긍정적인 영향은 엄청나다고 할 수 있다.

오래전 수학의 중심 키워드는 음악이었다.

현대 음악의 거장 이고르 스트라빈스키는 그의 오리지널 작품인 “불새”와 “봄의 제전”으로 음악계에 혁명을 일으켰고, 그는 음악에 수학적 연결이 있다고 믿었습니다.

새로운 음악 언어와 기존 음악을 결합하려는 다양한 시도의 과정은 새로운 법칙을 발견하기 위한 수학자의 무수한 모험과도 같다.

오페라를 싫어했던 뉴턴도 독학으로 음악을 공부했고 음계를 이용해 색의 스펙트럼을 정의했다.

수학자 오일러는 항상 음악에 빠져 시간을 보냈고 피치와 하모니에 집중한 결과 “오일러의 수론”이 탄생했습니다.

물론 세계적으로 유명한 과학자와 수학자들이 악기 연주를 즐긴다고 해도 음악과 수학의 인과관계는 불분명하다.

하지만 음악이 수학 문제를 푸는 데 도움이 되지 않는다고 해도 그것이 수학이라는 사실은 변하지 않습니다.

음악과 수학은 그 자체로 충분히 아름답다.

피타고라스 평균율, 평균율

잘 조율된 기타에서 C 코드를 잡고 럼블하면 자연스럽게 들립니다.

이 “이유는 모르겠지만 어쩐지 자연스러워”라는 음표를 화음이라고 합니다.

그러나 음정이 약간 어긋나더라도 C나 아무 코드나 잡고 연주하면 왜곡된 소리가 납니다.

음정이 맞지 않는 기타에서 생성되는 음이 서로 음정이 맞지 않기 때문입니다.

그렇다면 “음표가 서로를 보완한다”는 것은 정확히 무엇을 의미합니까? 여기에 순도가 있습니다.

순수 비율은 각 음 사이의 유리수의 비율입니다.

그것은 속도입니다… 이렇게 작은 정수 비율을 가진 두 개의 음은 그것이 없는 두 개의 음보다 더 자음처럼 들립니다.

순도에 대한 Wiki 정의는 다음과 같습니다.

소리는 일정한 주파수를 가진 파동입니다.

따라서 “각 음 사이의 비율”은 “각 음 사이의 주파수 비율”을 의미합니다.

청력은 간단히 말해서 자연스럽고 눈에 즐거운 소리입니다.

이유는 모르겠지만 두 톤(또는 여러 톤) 사이의 비율이 작은 유리수의 비율을 가질 때 사람들이 기분이 좋다고 설명할 수 있습니다.

그렇다면 어떤 비율이 가장 적합할까요? 좋게 들리면 누구나 좋아하는 것과 싫어하는 것이 있을 텐데 어떤 목소리가 가장 자연스럽게 들리나요? 생각해보면 가장 자연스럽게 들리는 2음 소리에는 세 가지 유형이 있습니다.

완벽한 하모니 완벽한 유니슨, 완벽한 4도, 완벽한 5도였습니다.

순1은 두 음이 같다는 뜻이고, 순4와 순5는 주파수 비율이 각각 3:4와 2:3인 소리이다.

그것은 피타고라스(2)였다.

피타고라스 평균율은 피치 주파수가 3:2 비율을 기반으로 하는 평균율입니다.

피타고라스가 발견한 것으로 여겨지며 가장 오래된 반음계 튜닝 시스템입니다.

피타고라스는 완전5도를 기반으로 음계를 만들었다고 믿어집니다.

특정 피치를 설정하고 해당 피치에서 계속해서 완벽한 5도를 만듭니다.

이렇게 해서 마지막 12개의 음표가 완성됩니다.

(실제로는 아래 설명과 같이 그렇지 않습니다.

) 이 12개의 음표는 완벽한 화음으로 시작하여 음계를 형성합니다.

이 12개의 음 사이의 음정은 현재 개념에서 “반음”이므로 가장 오래된 반음 방식이라고 합니다.

그래서 정확히 어떻게합니까?

…그리고 여기에서 5번째 원의 개념이 시작됩니다.

오각형의 첫 번째 원 모양: Nikolai Diletskii, “Grammatika”, 1679

사실, 피타고라스는 5도의 원과 아무 관련이 없지만, 어쨌든 그것이 아이디어의 싹이 시작된 곳입니다.

위 사진의 Nikolai Deletsky? 그 사람이 쓴 논문 “Grammatika”에서 처음으로 5도 원의 다이어그램이 제시되었습니다.

(Wikipedia: 오분의 원 – http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_of_fifths) 당시의 전례 음악에 사용하기 위해 노래를 작곡하는 방법에 대한 자체 논문, 위의 다이어그램은 작곡가의 도구로 도입되었다고 합니다.

그렇다면 다섯 번째 원은 무엇입니까? 오분의 원은 매우 간단한 개념입니다.

5도는 완전 5도를 의미하고 “상처”는 “원”을 의미합니다.

“완전한 5도의 원”을 의미합니다.

예를 들어 C에서 완전 5까지 원을 만들고 싶다면

C – G – D – A – E – B – Gb – Db – Ab – Eb – Bb – F – C – …

그런 다음 위와 같이 연속으로 12개의 음표를 반복합니다.

(위에서 설명했듯이 12음은 결국 피타고라스 음계에서 쌓인 것입니다.

) 하지만 C가 양쪽 끝에 나타나기 때문에 첫 번째 C음과 일치하도록 끝까지 당깁니다.

그러면 다음 그림이 나타납니다.

이것들은 완전5도로 구성된 음표이며, 이렇게 원 안에 나타납니다.

그래서 다섯 번째 영역이라고 합니다.

이 5도의 원은 표준 음의 왼쪽으로 완전 4도, 오른쪽으로 완전 5도가 되므로 모든 음계의 으뜸음(1st), 준도미넌트(4th), 딸림음(5th)을 배울 수 있습니다.

쉽고, 각 키에 몇 개의 샵(#) 또는 플랫(b)이 있는지 쉽게 확인할 수 있으며, 이를 사용하여 코드 진행이 “자연스럽게” 느껴지므로 작곡에 자주 사용됩니다.

(삼)

이제 5도의 원의 역사와 목적은 간단합니다.

피타고라스 음계로 돌아가면 피타고라스 음계는 어떻게 만들까요? 나는 질문을 했다.

일부 표준 음표(여기서는 C라고 하자)에서 완전 5도를 구성하여 만들 수 있습니다.

이때 완전5도의 주파수 비율은 2:3이므로 C의 주파수가 1이면 주파수 G의 완전5도는 1.5(3/2)가 된다.

G에서 D로 갈 때처럼 1.5를 곱하면 다음 옥타브로 이동할 때 주파수를 낮추기 위해 1.5/2를 합니다.

즉, 0.75(3/4)를 곱합니다.

그림을 보자.

C의 주파수가 1이면,

① G의 주파수는 3/2이고,

② 3/2을 곱하면 (9/4)D가 되고,

③ 이때 한 옥타브가 끝났으니 옥타브를 반(1/2) 낮추어라.

위와 같이 옥타브 사이의 모든 음표의 주파수 스케일을 채울 수 있습니다.

하지만 여기서 문제가 발생합니다.

적힌 숫자는 어리석지만 자세히 살펴 보겠습니다.

처음에는 C로 시작했습니다.

G는 3/2이 되고 D는 9/8이 됩니다…등. 그런 다음 나는 돌아서서 C로 돌아갔다.

소리가 다릅니다.

돌린 후 지폐는 동일해야 531441/524288, 약 1.0136입니다.

원래는 12개의 음표로 끝났어야 했지만 음표는 미묘한 차이로 계속 만들어졌습니다.

따라서 피타고라스의 리듬으로 음계를 만들면 결국 12개의 음표가 생성된다는 그의 말은 사실이 아닙니다.

그럼 어떻게 해야 할까요…계속 메모를 할까요? 당신이 돌아올 때까지

이건 아니야. 이 회전에는 큰 차이가 없기 때문에 사람들은 12개의 음표를 사용하는 다른 방법을 고안했습니다.

어쨌든 한 옥타브는 12개의 음으로 나뉘고 한 옥타브 사이의 주파수 차이는 두 배가 되는 것은 자명하다.

따라서 이와 같이 완전 5도에 음표를 쌓는 대신 “반음” 거리를 평균화합니다.

평균 발생률입니다.

“1옥타브”는 주파수 차이가 2배가 된다고 합니다.

그러면 옥타브는 12개의 음으로 구성되어 있으므로 가장 작은 단위인 반음의 주파수 차이를 12등분하여 2/12배로 나눈 것인가? 이건 아니야. 자연의 대부분의 현상은 지수 함수로 구성됩니다.

소리의 단위는 dB이며 10데시벨이 증가할 때마다 크기도 10배 증가합니다.

10dB과 30dB의 차이는 100배입니다.

수소 이온의 농도를 나타내는 pH도 마찬가지입니다.

pH가 0.1 차이 나면 수소 이온 농도는 10배 차이가 납니다.

조금 유출되었지만 어쨌든 Yinyu는 동일합니다.

따라서 Db의 주파수는 C의 2^(1/12)배이며 연속적으로 곱할 수 있습니다.

따라서 위의 다이어그램과 같은 주파수 비율을 갖습니다.

각 반음은 계속해서 2^(1/12)로 곱해지고 최종 주파수는 옥타브가 증가함에 따라 두 배가 됩니다.

이것을 평균으로 나누기 때문에 평균 기질이라고 합니다.

그러나 주파수 비율을 승수로 표현하는 것은 표기가 복잡하고 기본적으로 곱셈이 필요한 구조이기 때문에 이해하기 어렵습니다.

그래서 소리 간격에 대해 dB와 같은 단위를 만들었습니다.

포인트라고 합니다.

“반음 사이의 피치 차이”는 100센트로 정의됩니다.

따라서 1옥타브는 1200센트입니다.

이 정의에 따르면 센트와 빈도의 관계는 다음과 같습니다.

위의 공식에 따라 계산해 봅시다.

1) 옥타브는 주파수의 두 배이므로

2) 반음의 주파수 차이는 2^(1/12)이므로

수학을 처음 접하는 경우 이 방정식을 바로 건너뛸 수 있습니다.

어쨌든 알아야 할 것은 반음 차이는 100센트이고 온음은 200센트라는 것입니다… 이제 센트의 개념이 도입되었으므로 피타고라스 음계에서 한 번 돌렸을 때 음이 얼마나 일관성이 없는지 살펴보면, 방정식에 의해

약 25센트. 약 1/8 음표. 귀가 예민한 사람이라면 누구나 구별할 수 있습니다.

또한 피타고라스 음계에서 음 사이의 간격은 일정하지 않습니다.

다음 표는 C를 기준으로 반음 사이의 피치 차이를 센트 단위로 보여줍니다.

맙소사… 피타고라스 척도는 폭동입니다.

대략 114센트와 90센트의 조합으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다.

C-Db 사이의 거리는 114센트, Db-D 사이의 거리는 90센트 등입니다.

음 사이의 간격이 일정하지 않기 때문에 조옮김을 할 때 전체를 다시 조정해야 하는 문제가 있다.

따라서 현대 음악에서 (심지어 노래의 억양에도!
) 사용이 (매우) 불편하기 때문에 이 순진함 비율은 Joe가 자유롭게 드나들 수 있는 곳에서는 더 이상 거의 사용되지 않습니다.

마지막으로 원래 피타고라스 음계에서 완전5도는 주파수 비율이 2:3인 음을 의미합니다.

그러면 위에서 언급한 바와 같이 피치 간격이 다른 평균율에서 완전5도의 주파수 비율은 어떻게 될까요…?

위의 표에서 볼 수 있듯이 동음 평균율에서 완전5도의 음높이 차이는 700센트입니다.

이를 도수비로 환산하면 약 1.4983배로 1.5배에 가깝다.

위의 표를 보면 702센트와 700센트의 차이가 거의 없기 때문에 인간에게는 차이가 없다고 할 수 있습니다.

따라서 평균율은 음악적 편의를 위한 ‘타협’으로 볼 수 있다.